《因式分解——提公因式法》教学设计

一、教学目标

1．理解因式分解的概念，因式分解与整式乘法的关系．

2．了解公因式的概念，能熟练运用提公因式法进行因式分解．

3．在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．

二、教学重难点

教学重点：会用提公因式法分解因式．

教学难点：如何确定公因式及提出公因式后的另外因式．

三、教学过程

（一）创设情境，引出问题

学校为了丰富我们的课外活动，打算在原操场两侧分别建一个网球场和篮球场，各场地长、宽如下图所示：

问题1：你能用几种方法表示扩大后的操场面积？

预设1：ma+mb+mc．

预设2：m（a+b+c）．

问题2：不同的表示方法之间有什么关系？

预设：ma+mb+mc= m（a+b+c）．

我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

问题3：如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系？

预设：因式分解与整式乘法是方向相反的变形．

【设计意图】通过具体问题的解决，让学生在思考、观察和探索的过程中，了解因式分解的概念，认识因式分解的基本属性——将和差化积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法的互逆变形关系，为后续探索因式分解的具体方法做铺垫．

练习1：根据你对概念的理解，判断下列变形是不是因式分解．

（1）2m>(m-n)=<2m²>-2mn；

（2）x²-2x+1=x（x-2）+1；

（3）a²-b²=（a+b）（a-b）；

（4）4x²-4x+1=(2x-1)²；

（5）3a>²+<6a>=<3a>（a+2）；

（6）m²-1+ n²=（m+1）（n-1）．

【设计意图】通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念，认识到因式分解是恒等变形．

（二）探索发现，推陈出新

观察多项式ma+mb+mc．

思考：这个多项式的各项有什么特点？                              

预设：它的各项都有一个公共的因式m．

我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式．

例1：找出下面多项式的公因式．

（1）4xy²+2x²y³；

（2）ax²+2ax-4ay．

练习2：写出下列多项式各项的公因式．

（1）4ax-8ay；      

（2）5y³+20y²；   

（3）a²b-2ab²+ab；

（4）-4a³b²-6a²b+2ab； 

（5）（2a+b）（2a-3b）-3a（2a+b）．

归纳方法：如何确定多项式各项的公因式？

1．定系数：找多项式各项系数的最大公约数．

2．定字母：找多项式各项相同的字母．

3．定指数：相同字母的最低的次数．

【设计意图】通过学生观察、思考和总结归纳，让学生了解公因式的概念，进一步了解因式分解与整式乘法的关系，了解因式分解的理论依据，为提公因式法分解因式做基础，初步理解提公因式法分解因式．

（三）例题展示，规范解题

因式分解：27x³-9x²y²．

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

例2：把2x²-8xy+x因式分解．

解：原式=x·2x-x·8y+x·1

=x（2x-8y+1）．

【设计意图】通过例题的教学，引导学生：（1）了解提公因式法分解因式的基本步骤；（2）积累找公因式的经验；（3）知道提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的；（4）用公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．

练习3：（1）24a³m-18a²m²；  

（2）5y²-15y+5；    

（3）28x³-14x²+7x．

例3：因式分解．

【设计意图】例3是对于首项是带有负号的多项式分解因式，多项式第一项的系数是负数，通常先提出“-”号，且括号内各项都要变号．

练习4：（1）-7ab+49ab²c；  

（2）-6ax²+9axy-3a；     

（3）-2a³b²-ab³c+3abc．

例4：把多项式 2a（b+c）-3（b+c）分解因式．

【设计意图】例4的公因式是多项式，通过这一例题的教学，提高学生对“公因式”的认识——可以是单项式，也可以是多项式，增强对提公因式法分解因式的本质认识．

练习5：（1）4m（n-3）+2（n-3）；   

（2）2a（y-x）-3b（x-y）；   

（3）a（a²+b²）-c（a²+b²）．

（四）课时小结，知识分享

通过这节课的学习，你有哪些收获？和大家一起分享吧！

1．什么叫因式分解？

2．确定公因式的方法？

3．提公因式法分解因式步骤？

4．提公因式法因式分解中的四个注意？

【设计意图】通过小结，使学生梳理本节课所学的内容，使学生进一步理解因式分解、公因式的概念，总结应用提公因式法分解因式的步骤，建立知识间的练习，促进学生数学思维品质的优化．

（五）作业

基础检测：

1．因式分解

（1）；

（2）－12a²b+24ab²；                     

（3）xy－x²y²－x³y³；         

（4）．    

2．已知a－b＝3，ab＝－1，求a²b－ab²．

3．若x²＋3x－2＝0，求2x³＋6x²－4x的值．

4．先分解因式，再求值： 

4a²（x+7）-3（x+7），其中a=-5，x=3．

能力提升

1．因式分解   

（1）；

（2）；         

（3）；

（4）．

2．先化简，再求值

，其中，x=.

3．已知方程组，求代数式的值．